3. 집합의 기본개념과 집합의 연산(2-1)

집합

- 정의 1

- 집합(set)이란 수학적 성질을 가지는 객체(objects)의 모임

- 집합은 정확하게 정의되어야 하며, 어떤 객체가 그 집합에 속하는지 아닌지를 분명히 구분할 수 있어야 함

- 집합을 표시할 때는 알파벳 대문자 A,B,C... , Z등으로 표시

- 집합을 구성하는 원소(element 또는 member)는 알파벳 소문자 a,b,c..., z 등으로 표시

- 집합을 S라 하고 하나의 원소를 a라 하면, 원소 a가 집합 S에 속할 경우 이를 'a는 집합 S의 원소이다'라고 하고, a∈S 로 나타냄

- 원소 a가 집합 S에 속하지 않을 경우에는 'a는 집합 S의 원소가 아니다'라고 한다.

집합을 표현하는 방법

- 원소나열법

-집합에 속하는 모든 원소를 콤마(,)를 이용하여 { } 안에 하나씩 나열하는 방식

S={1, 2, 3, 4, 5}

- 여기서 의미가 명확한 경우 모든 원소를 나열하는 대신에 ...을 이용할 수 있음

A={a, b, c,...z}

- 조건 제시법

- 집합에 속하는 원소들의 공통적인 특징을 조건식으로 제시하는 방식

S={x|x는 자연수이고 1≤x≤5}

- 정의 2

- 집합 S내에 있는 서로 다른 원소들의 개수를 그 집합의 카디날리티(cardinality)또는 원소의 개수라고 하고 |S|로 나타냄

- 예를 들어, A={1,3,5,7,9}의 원소의 개수는 5개, 집합 B={1}의 원소의 개수는 1개, 집합 N={1,2,3...}의 원소의 개수는 무한이므로

|A|=5, |B|=1, |N|=∞가 됨

- 정의 3

- 일정한 모임 전체의 원소를 포함하는 집합을 전체집합(universal set)이라 하고, U로 나타냄

- 또한 하나의 원소도 포함하지 않은 집합을 공집합(empty set)이라 하고, { } 또는 Φ이라고 함.

- 전체집합(universal set)

- 일정한 모임 전체의 원소를 포함하는 집합

- U로 표시

- 공집합(empty set)

- 하나의 원소도 포함하고 있지 않은 집합

- { } 또는 Φ로 표시

- 정의 4

- 집합 S의 원소의 개수가 유한인 경우, 집합 S를 유한집합(finite set)이라 하며,

집합 S가 유한집합이 아니면, 집합 S를 무한 집합(infinite set)이라고 함

- 정의 5

- 두 집합 A, B원소가 동일할 때 두 집합 A와 B는 서로 같다(equal)또는 상등이라고 하고, A=B로 나타냄

- 즉 a∈A면 a∈B고, a∈B면 a∈A일 때 A=B

- A=B <=> (a∈A<-> a∈B)

- 상등

- 두 집합 A와 B가 동일한 원소를 가짐

- 서로 같다

- A=B로 표시

- 정의 6

- 두 집합 A,B에서 집합 A의 모든 원소가 집합 B의 원소에 속하면 '집합 A는 집합 B에 포함된다' 라고 하고 A⊆B로 표기함

- 이때 집합 A는 집합 B의 부분 집합(subset)이라고 함

- 한편 집합 A가 집합 B의 부분 집합이 아니면 A ⊆/ (기호가음따.. 합친거로 생각) B로 표기

- 부분집합

- A와 B가 집합이고 A의 모든 원소가 B에 포함될 때 A를 B의 부분 집합이라고 정의한다.

- 진부분집합

- A가 B의 부분집합이지만 A와 B가 같지 않은 경우

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벤 다이어그램

- 주어진 집합들 사이의 관계와 집합의 연산에 대하여 이해하기 쉽도록 그림으로 나타낸 것

- 전체집합 U는 사각형으로 표시

- 전체집합 U의 부분집합들은 사각형 안에 원으로 표시

- 벤 다이어그램을 통합 집합의 표현

- 정의 7

- 전체 집합 U와 그것의 부분 집합 A에서 집합 U에 속하나 A에 속하지 않는 원소들의 집합을 A의 여집합(complement)이라고 하며

A'로 표시

- 정의 8

- 합집합(Union) : AUB

- 임의의 두 집합 A,B에 대하여 이들의 합집합은 집합 A 또는 집합 B에 속하는 모든 원소의 집합을 말하며, AUB로 표기

AUB={x|x∈A V x∈B}

- 합집합(Union)

- 두 집합 A와 B에 모두 속하거나 둘 중 어느 한 곳에 속하는 원소들의 모임

- 정의 9

- 교집합(Intersection) : A∩B

- 임의의 두 집합 A,B에 대하여 이들의 교집합은 집합 A에도 속하고 집합 B에 속하는 모든 원소의 집합을 말하며, A∩B로 표기

- 정의 10

- 차집합(Difference) : A-B

- 임의의 두 집합 A,B에 대하여 이들의 차집합은 집합 A에도 속하고 집합 B에는 속하지 않는 모든 원소의 집합을 말하며,

A-B로 표기

- 정의 11

- 임의의 두 집합 A,B에 대하여 A∩B=Φ인 경우, 다시 말해서 집합 A와 집합 B가 공통된 원소를 하나도 가지지 않은 경우

두 집합 A,B를 서로소(disjoint)라고 함

- 서로소(disjoint)

- 두 집합 A와 B에 대하여 A∩B=Φ인 경우

- 정의 12

- 대칭 차집합(Symmetric diggerence)

- 임의의 두 집합 A,B에 대하여 이들의 대칭 차집합은 AUB의 원소 중에서 A∩B에 속하지 않는 모든 원소들의 집합을 말한다.